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地铁控制基标的归化改正原理和编程实现 | |
作者:董伟东 秦… 文章来源:中国论文下载中心 点击数 更新时间:2013/7/4 19:06:18 文章录入:web13741 责任编辑:web13741 | |
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Si:第i-1点到第i 点的距离(观测值与理论值相差微小,以观测值表示)。 α0、αn:附合导线两端的已知方位角。 β’i:第i个控制点上的转折角理论值;βi:第i个转折角平差后的观测值。 ui:第i点沿线路法线方向的归化改正数,含正负号。正值表示向观测角一侧改正。 vi:转折角改正数,vi =β’i -βi; 5.1 归化改正原理: 已知转折角改正数vi(i=0,1,2…n)和观测边si(i =1,2…n),在Vi剩=0(Vi剩 为转折角改正数残差;i=0,1,2…n)或S (vi剩^2)=min(最小)的条件下,求各归化改正数ui(i =0,1,2…n)。 5.2数学模型的建立:
为求得U,下面讨论④式解的情况: 考察④式的系数矩阵B的秩有: R(B)<=(n-1) 当R(B|U)=R(B),相容方程④有解,且有无穷多解。 当R(B|U)≠R(B),矛盾方程④无解。 针对以上两种情形,为求得④式的最优解,引入工程数学的“广义逆”(g逆)概念。设B的广义逆矩阵为B▔,最小范数g逆为Bm▔,最小二乘g逆为Bl▔;B的Moore-Penrose广义逆为B 。则 (1)当R(B|U)=R(B) U=(1/ρ)Bm▔V ⑤ 此时,U结果唯一,且满足 ||U||(U的范数)=最小。亦即横向归化改正值的平方和最小。 对于等边导线,设S1=S2=…=Sn=S,q=1/S 则④式中的B可写为:
可见,等边导线归化改正只有唯一解⑤’,它是⑤的特殊形式,同样满足||U||=最小。此时R(B)=R(B|U)=n-1。 此外等边导线具有两个重要规律:即满足两个公式(③和③’)。③’为等边导线所特有,也可用于检验等边导线观测值是否含有粗差。③是所有导线具有的规律,归化改正数的残差向量也符合这一规律,所以③除能检验观测值是否含有粗差外,还可以检验归化改正结果是否正确。 (2)当R(B|U) ≠R(B)时,矛盾方程④无解,但可求最优近似解,即最小二乘解(不唯一),其一个解为 U=(1/ρ)Bl▔V ⑥ ⑥可使方程④残差向量的范数最小,即||ρBU||=最小。也就是附合导线的转折角改正数的残差向量的平方和为最小。 综合(1)、(2)两种情况,即无论方程④有解或无解,均可得到最优解,并可统一写为下式: U=(1/ρ)B V ⑦ 在(1)的情形下,⑦是④的一个最小范数解;在(2)情形下,⑦是④唯一的最小二乘最小范数解。 ④、⑤、⑥三式或④、⑦二式即为控制基标归化改正的数学模 |
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